Question

11．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位．已知圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的极坐标方程是2ρcosδ+ρsinδ=6．
（Ⅰ）写出圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数可得：x²+（y-1）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出极坐标方程．
（II）由直线l的极坐标方程2ρcosδ+ρsinδ=6化为直角坐标方程：2x+y-6=0．圆上的点P（2cosφ，1+2sinφ）到直线l的距离d，即可得出．

解答 解：（I）由圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数可得：x²+（y-1）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-2ρsinθ-3=0．
（II）由直线l的极坐标方程2ρcosδ+ρsinδ=6化为直角坐标方程：2x+y-6=0．
圆上的点P（2cosφ，1+2sinφ）到直线l的距离d=$\frac{|4cosφ+2sinφ-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{5}sin（φ+α）-5|}{\sqrt{5}}$，
∴|PQ|_max=$\frac{|2\sqrt{5}+5|}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，|PQ|_min=$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了把极坐标方程与直角方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．