Question

2．已知函数$f（x）=ln（{1-\frac{a}{x+1}}）（a∈R）$．命题p：?a∈R，f（x）是奇函数；命题q：?a∈R，f（x）在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（　　）

• A． ?p
• B． p∧q
• C． （?p）∧q
• D． p∧（?q）

Answer 1

分析 判定命题p、q的真假，再根据复合命题真值表可得答案．

解答 解：存在a=0，f（x）=ln（1-$\frac{a}{x+1}$）=ln1=0既是奇函数又是偶函数，
也存在a=2，使f（x）=ln（1-$\frac{a}{x+1}$）=ln（1-$\frac{2}{x+1}$）=ln（$\frac{x-1}{x+1}$），
因为f（-x）=ln（$\frac{-x-1}{-x+1}$）=ln（$\frac{x+1}{x-1}$）=-f（x）此时函数f（x）是奇函数，所以命题p为真命题，￢p为假命题，
而当a=0，f（x）=ln（1-$\frac{a}{x+1}$）=ln1=0没有单调性，所以命题q为假命题，￢q为真命题，
故p∧（?q）为真命题，
故选：D．

点评 本题借助考查复合命题的真假判断，考查了函数的奇偶性及单调质，解题的关键是熟练掌握复合命题的真假规律．