Question

19． 如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于M，AD垂直CD于D，BC⊥CD于C，MN⊥AB于N，又AD=3，BC=1，则MN=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AM，OM，BM，证明△CMB≌△NMB，可得CM=NM，再求出CD，即可求出MN．

解答 解：连接AM，OM，BM，则
因为直线CD与圆O相切于M，
所以∠CMB=∠MAM，
因为AB为圆O的直径，MN⊥AB，
所以∠NMB=∠MAM，
所以∠CMB=∠NMB，
因为BC⊥CD于C，MN⊥AB，
所以△CMB≌△NMB，
所以CM=NM，
因为直线CD与圆O相切于M，AD垂直CD于D，BC⊥CD于C，AD=3，BC=1，
所以OM=2，
所以AB=4，
所以CD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以CM=$\sqrt{3}$
所以MN=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形全等的证明，考查圆的切线的性质，属于中档题．