Question

9．方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$化简的结果是（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• B． $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$（x≤-2）
• D． $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1$（y$≤-\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 根据题意，分析根式$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$和$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$的几何意义，可得方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$表示|PF₂|-|PF₁|=4的点的轨迹，由双曲线的定义分析可得P的轨迹是以F₁（-3，0），F₂（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，结合题意求出双曲线的标准方程，即可得答案．

解答 解：根据题意，根式$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）与点（3，0）之间的距离，
根式$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）与点（-3，0）之间的距离，
设P（x，y），F₁（-3，0），F₂（3，0），则|F₁F₂|=6，
则方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$表示|PF₂|-|PF₁|=4的点的轨迹，
则P的轨迹是以F₁（-3，0），F₂（3，0）为焦点，且2a=4的双曲线的左支，
其中b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=5，
则其方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≤-2）；
即方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$化简的结果为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≤-2）；
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义，关键是分析题目中根式的意义，进而结合双曲线的定义进行分析．