Question

20．已知球的直径SC=4，A、B 是该球面上的两点且AB=2$\sqrt{2}$，∠ASC=30°，∠SCB=45°，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设球心为O，连结AO、BO，取CO的中点D，连结AD．由球的直径的性质可得△SAC中，∠SAC=90°，结合∠ASC=30°且SC=4，算出AC=2，可得△AOC是边长为2的正三角形，得出AD⊥SC且AD=$\sqrt{3}$，再由已知可得△SBC是等腰直角三角形，求得BC，BS，结合已知可得BO⊥平面SAC，再利用锥体的体积公式加以计算，可得三棱锥S-ABC的体积．

解答 解：设球心为O，连结AO、BO，取CO的中点D，连结AD，
∵SC为球的直径，A、B是球面上的点，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠ASC=30°，∠SCB=45°，SC=4，∴AC=2，BC=$2\sqrt{2}$．
∵△AOC中，AO=CO=AC=2，∴△AOC是边长为2的正三角形，
又∵D为CO的中点，∴AD⊥SC且AD=$\sqrt{3}$．
则${S}_{△SAC}=\frac{1}{2}SC•AD=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵BC=BS=2$\sqrt{2}$，∴BO⊥SC且BO=2．
又AO=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴BO²+AO²=AB²，即BO⊥AO，
∵AO∩SC=O，∴BO⊥平面SAC，
因此，V_S-ABC=V_B-SAC=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题给出球的直径与两条直线所成角的大小，求球内接三棱锥的体积．着重考查了球的性质、球内接多面体、线面垂直的判定定理与锥体体积求法等知识，属于中档题．