【题目】设点M到坐标原点的距离和它到直线l:x=﹣m(m>0)的距离之比是一个常数 .
(Ⅰ)求点M的轨迹;
(Ⅱ)若m=1时得到的曲线是C,将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E,过点P(﹣2,0)的直线l1与曲线E交于不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),过F(1,0)的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q,设 =α
,
=β
,α、β∈R,求α+β的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)过M作MH⊥l,H为垂足,
设M的坐标为(x,y),则丨OM丨= ,丨MH丨=丨x+m丨,
由丨OM丨= 丨MH丨,则
=
丨x+m丨,整理得:
x2+y2﹣mx﹣
m2=0,
∴ ,
显然点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆;
(Ⅱ)当m=1时,则曲线C的方程是: ,
故曲线E的方程是 ,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),D(x3 , y3),
=(1﹣x1 , ﹣y1),
=(x3﹣1,y3),
=α
,则﹣y1=αy3 ,
则α= ,
当AD与x轴不垂直时,直线AD的方程为y= (x﹣1),即x=
,代入曲线E方程,
,整理得:(3﹣2x1)y2+2y1(x1﹣1)y﹣y12=0,y1y3=﹣
,﹣
=3﹣2x1 , 则α=3﹣2x,
当AD与x轴垂直时,A点的横坐标x1=1,α=1,
显然α=3﹣2x1也成立,
同理可得:β=3﹣2x2 ,
设直线l1的方程为y=k(x+2),代入 ,整理得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣2=0,
由k≠0,则△=(8k2)2﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,
解得:0<k2< ,
由x1+x2=﹣ ,
则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2(x1+x2)=14﹣ ,
∵α+β∈(6,10),
∴α+β的取值范围(6,10)
【解析】(Ⅰ)利用两点之间的距离公式,求得 =
丨x+m丨,整理即可求得点M的轨迹;(Ⅱ)当m=1时,求得E的方程,根据向量的坐标运算,求得α=3﹣2x,β=3﹣2x2 , 设直线l1的方程为y=k(x+2)代入椭圆方程,由△>0,求得k的取值范围,则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2(x1+x2),由韦达定理即可求得α+β的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣e﹣x , 下列命题正确的有 . (写出所有正确命题的编号)
①f(x)是奇函数;
②f(x)在R上是单调递增函数;
③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根;
④如果对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值为2.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
温差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“
均不小于25”的概率;
(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据4月7日,4月15日与4月21日这三天的数据,求出关于
的线性回归方程
,并判定所得的线性回归方程是否可靠?
参考公式: ,
参考数据:
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【题目】已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点相同,
为椭圆的左、右焦点.
为椭圆上任意一点,
面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆
于
两点.若直线
与
的斜率分别为
,且
.求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某学校高一年级有学生名,高二年级有
学生名.现用分层抽样方法(按高一年级、高二年级分二层)从该校的学生中抽取
名学生,调查他们的数学学习能力.
(Ⅰ)高一年级学生中和高二年级学生中各抽取多少学生?
(Ⅱ)通过一系列的测试,得到这名学生的数学能力值.分别如表一和表二
表一:
高一年级 | |||||
人数 |
表二:
高二年级 | |||||
人数 |
①确定,并在答题纸上完成频率分布直方图;
②分别估计该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
③根据已完成的频率分布直方图,指出该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值分布特点的不同之处(不用计算,通过观察直方图直接回答结论)
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【题目】已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
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【题目】已知f.
(1)如果函数的单调递减区间为
,求函数
的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数的图象在点
处的切线方程;
(3)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(x)+f(2﹣x)=0,(2)f(x﹣2)=f(﹣x),(3)在[﹣1,1]上表达式为f(x)= ,则函数f(x)与函数g(x)=
的图象区间[﹣3,3]上的交点个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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【题目】某理科考生参加自主招生面试,从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.
(1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率;
(2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为 ,答对文科题的概率均为
,若每题答对得10分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文),求其所得总分X的分布列与数学期望E(X).
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