Question

12．如图1，已知梯形ABCD中，BC∥AD，BC=BE=1，AD=4，E为AD的中点，BE⊥AD．将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使∠PED=120°，如图2．M是棱PB上的一点（M不与P，B重合），平面DEM交PC于N．

（Ⅰ）求证：DE∥MN；
（Ⅱ）求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点M，使得平面MNDE⊥平面PCD？若存在，求出$\frac{PM}{PB}$的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得DE∥面PBC，又DE?面DEMN，面DEMN∩面PBC=MN，即可得DE∥MN．
（Ⅱ）以E为原点，EB，ED所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，-1，$\sqrt{3}$），利用法向量的夹角公式计算．
（Ⅲ）设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PB}=（λ，λ，-\sqrt{3}λ）$，求出面DEMN的法向量为$\overrightarrow{v}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，利用$\overrightarrow{v}•\overrightarrow{n}=-5（\sqrt{3}λ-\sqrt{3}+\sqrt{3}λ=0$，求出λ．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵$\left\{\begin{array}{l}{BC∥DE}\\{BC?面PBC}\\{DE在面PBC外}\end{array}\right.$，∴DE∥面PBC
又∵DE?面DEMN，面DEMN∩面PBC=MN
∴DE∥MN．
（Ⅱ）∵AE⊥BE，DE⊥BE，可得BE⊥面PED，
由因为面PED∩面BCDE=DE，BE⊥DE，∴面PED⊥面BCDE
故以E为原点，EB，ED所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图．
∵∠PED=120°，可得P在面BCDE的投影长为1，P 到面BCDE的距离为$\sqrt{3}$
则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，-1，$\sqrt{3}$）
设面PBE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
$\overrightarrow{EP}=（0，-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}=（1，0，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=x=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（0，\sqrt{3}，1）$
设面PDC的法向量为$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$
$\overrightarrow{PC}=（1，2，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}=（0，3，-\sqrt{3}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=a+2b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=3b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-5，1，\sqrt{3}）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\sqrt{29}}$=$\frac{\sqrt{87}}{29}$
∴平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值$\frac{\sqrt{87}}{29}$

（Ⅲ）设$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PB}=（λ，λ，-\sqrt{3}λ）$，则$\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PM}=（λ，λ-1，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$
设面DEMN的法向量为$\overrightarrow{v}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{ED}=2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{EM}=λ{x}_{1}+（λ-1）{y}_{1}+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）{z}_{1}=0}\end{array}\right.\\;\$可取$\overrightarrow{v}=（\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，0，λ）$
若使得平面MNDE⊥平面PCD，则$\overrightarrow{v}•\overrightarrow{n}=-5（\sqrt{3}λ-\sqrt{3}+\sqrt{3}λ=0$
解得$λ=\frac{5}{4}∉（0，1）$，∴不存在点M，使得平面MNDE⊥平面PCD

点评 本题考查了空间线面平行的性质、判定，考查了向量法求二面角、向量法处理动点问题，属于中档题，