Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n²-4n，数列{b_n}中，b₁=$\frac{a_2}{{3+{a_3}}}$对任意正整数$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在实数μ，使得数列{3ⁿ•b_n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：$\frac{1}{4}≤{b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=-3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．
（2）法一：假设存在实数μ，使数列{3ⁿ•b_n+μ}是等比数列，且公比为q．因为对任意正整数$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$，${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，可令n=2，3，得  b₂，b₃．根据{3ⁿb_n+μ}是等比数列，可得：$（μ+\frac{13}{4}）^{2}$=$（μ-\frac{3}{4}）$$（μ-\frac{35}{4}）$，解得 μ，代入可得 $\frac{{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=-3  （n≥2）即可证明．
法二：因为对任意正整数$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．所以${3}^{n}{b}_{n}=-3•{3}^{n-1}{b}_{n-1}+1$，设3ⁿb_n+μ=-3（3^n-1b_n-1+μ），可得-4μ=1，即可证明．
（3）由a₂=-1，a₃=1，可得${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，$3{b_1}-\frac{1}{4}=-1$，可得${3^n}{b_n}-\frac{1}{4}=-1•{（-3）^{n-1}}$，即${b_n}={（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，利用等比数列的求和公式即可得出．对n分类讨论，利用数列的单调性即可证明．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=-3，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-（n-1）²+4（n-1），
即a_n=2n-5，…（3分）
n=1也适合，所以a_n=2n-5．…（4分）
（2）法一：
假设存在实数μ，使数列{3ⁿ•b_n+μ}是等比数列，且公比为q．…（5分）
因为对任意正整数$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$，${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，
可令n=2，3，得  b₂=$\frac{13}{36}$，b₃=-$\frac{35}{108}$．…（6分）
因为{3ⁿb_n+μ}是等比数列，所以$（μ+\frac{13}{4}）^{2}$=$（μ-\frac{3}{4}）$$（μ-\frac{35}{4}）$，解得 μ=-$\frac{1}{4}$ …（7分）
从而 $\frac{{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1-{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=$\frac{-{3}^{n}{b}_{n}+\frac{3}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=-3  （n≥2）…（9分）
所以存在实数μ=-$\frac{1}{4}$，公比为q=-3．…（10分）
法二：因为对任意正整数$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．所以${3}^{n}{b}_{n}=-3•{3}^{n-1}{b}_{n-1}+1$，
设3ⁿb_n+μ=-3（3^n-1b_n-1+μ），则-4μ=1，…（8分）
所以存在$μ=-\frac{1}{4}$，且公比$q=\frac{{{3^n}{b_n}-\frac{1}{4}}}{{{3^{n-1}}{b_{n-1}}-\frac{1}{4}}}=-3$．…（10分）
（3）因为a₂=-1，a₃=1，所以${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，$3{b_1}-\frac{1}{4}=-1$，
所以${3^n}{b_n}-\frac{1}{4}=-1•{（-3）^{n-1}}$，即${b_n}={（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，…（12分）
于是b₁+b₂+…+b_n=$（-1）•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^0}$+$（-1）^{2}•\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}×\frac{1}{3}$+…$+{（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{{\frac{1}{12}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$…（13分）
当是奇数时：b₁+b₂+…+b_n=$-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）=-\frac{5}{24}-\frac{1}{8}•\frac{1}{3^n}$，关于递增，
得$-\frac{1}{4}$≤b₁+b₂+…+b_n＜$-\frac{5}{24}$．…（14分）
当是偶数时：b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$，关于递增，
得  $\frac{1}{9}$≤b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{8}$．…（15分）
综上，$-\frac{1}{4}$≤b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{8}$．…（16分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．