Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

3n

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）试比较T_n与

3n

2n+1

的大小．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用累加法即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）利用错位相减法，可以数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）需要验证，根据n=1，2时，和n≥3，得到T_n与

3n

2n+1

的大小

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

-（2^-2+2^-3+…+2^-n）=

1

2

-

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2n

又a₁=

1

2

，也适合上式，
所以a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
（2）由（1）得a_n=

1

2n

，所以b_n=na_n=

n

2n

，
∴T_n=1×2×2^-2+…+n×2^-n，①，
∴

1

2

T_n=1×2^-2+2×2^-3+…+n×2^-n-1，②．----------------------------7
由①-②得，

1

2

T_n=2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^-n-n×2^-n-1，
∴T_n=1+2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^1-n-n×2^-n=

1-2-n

1- 1 2

-n×2^-n=2-

n+2

2n

（3）因为T_n-

3n

2n+1

=（2-

3n

2n+1

）-

n+2

2n

=

n+2

2n+1

-

n+2

2n

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

所以确定T_n与

3n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．
当n=1时，2¹＜2×1+1；
当n=2时，2²＜2×2+1；
当n=3时，2³＞2×3+1；
当n=4时，2⁴＜2×4+1；
可猜想当n≥3时，2ⁿ＜2n+1；
综上所述，当n=1或n=2时，T_n＜

3n

2n+1

；
当n≥3时，T_n＞

3n

2n+1

点评：本题主要考查了递推数列的求通项公式的方法以及利用错位相减法，求出数列的前n项和，属于中档题