Question

15．从双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段FP的中点，O为原点，则|MO|-|MT|的值是b-a．

Answer 1

分析 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．即可得出结论．

解答 解：如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
由三角形中位线定理得到：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
故答案为：b-a．

点评 本题考查了双曲线的定义和性质的运用，结合三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质等知识，考查学生的计算能力和分析能力，是中档题．