Question

9．已知函数f（x）=（ax+b）e^x，其中e为自然对数的底数，b是复数$\frac{3i-2}{i}$的实部．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）设函数g（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx+t，当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出b的值，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为f（x）_max≥g（x）_min，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值即可．

解答 解：（1）∵$\frac{3i-2}{i}=3+2i，\;\;\;\;∴b=3，即f（x）=（ax+3）{e^x}$，
当a=0时，f（x）=3e^x，则f（x）在R上单增，无单减区间
当a≠0时，由f（x）=（ax+3）e^x得f′（x）=a（x+1+$\frac{3}{a}$）e^x，
如a＜0，由f′（x）＞0可得x＜-1-$\frac{3}{a}$，f′（x）＜0可得x＞-1-$\frac{3}{a}$，
∴f（x）的单增区间为（-∞，-1-$\frac{3}{a}$），单减区间为（-1-$\frac{3}{a}$，+∞），
如a＞0，由f′（x）＞0可得x＞-1-$\frac{3}{a}$，f′（x）＜0可得x＜-1-$\frac{3}{a}$，
∴f（x）的单增区间为（-1-$\frac{3}{a}$，+∞），单减区间为（-∞，-1-$\frac{3}{a}$）；
（2）当a=-1时，由（1）可知f（x）在区间（0，2）上单增，在区间（2，+∞）上单减
则f（x）_max=f（2）=e²，
由g（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx+t知g′（x）=$\frac{x-2}{2x}$，
易知g（x）在区间（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，
则g（x）_min=1-ln1+t，
则存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立等价于f（x）_max≥g（x）_min，
即e²≥1-ln2+t，即t∈（-∞，e²+ln2-1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，复数问题，是一道中档题．