Question

1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-$\frac{1}{x}$
• C． y=-x|x|
• D． y=2^x-2^-x

Answer 1

分析 根据一次函数的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，指数函数的奇偶性即可判断A，B，C错误，根据奇函数的定义及函数导数符号和函数单调性的关系即可判断出D正确．

解答 解：一次函数y=x+1在定义域上是增函数，不是奇函数；
反比例函数y=$\frac{1}{x}$在其定义域上没有单调性；
根据y=-x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数，在定义域上没有单调性；
y=2^x-2^-x是奇函数，且y′=2^x+2^-x＞0，
∴该函数在定义域R既是奇函数又是增函数．
故选：D．

点评 考查一次函数、反比例函数在定义域上的单调性，指数函数的奇偶性，以及奇函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系．