Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$=1，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$）=$\frac{2}{3}$+1+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{3b}$≥$\frac{5}{3}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{3b}}$=$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{3b}$时取=号，
故答案为：$\frac{5}{3}$+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

点评 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．利用数形结合是解决本题的关键．