Question

如图，在三棱锥S-ABC中，设P、Q为底面△ABC内的两点，且
=+，=，则V_S-ABP：V_S-ABQ=    ．

Answer 1

【答案】分析：过P作AB、AC的平行线PD、PE，得到平行四边形ADPE，利用向量加法法则可得，结合题意得到且，因此P到AB的距离等于点C到AB距离的，所以△ABP的面积等于△ABC面积的．同理△ABQ的面积等于△ABC面积的，由此结合锥体体积公式即可算出V_S-ABP：V_S-ABQ的值．
解答：解：过P作AB、AC的平行线PD、PE得平行四边形ADPE
则向量
∵=+，
∴由平面向量的基本定理，可得且
因此，点P到AB的距离等于点C到AB距离的
∴=
再过Q作AB、AC的平行线QF、QG得平行四边形AFQG
同理可证且，
可得点Q到AB的距离等于点C到AB距离的，得=
因此，△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
∵V_S-ABP=S_△ABP•d，V_S-ABQ=S_△ABP•d．其中d为S到平面ABC的距离
∴V_S-ABP：V_S-ABQ=
故答案为：
点评：本题给出三角形ABC内的点P、Q满足的条件，求两个锥体的体积之比．着重考查了平面向量加法法则、平面向量基本定理及其应用和锥体体积公式等知识，属于中档题．