Question

如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2: +=1(a>b>0)的两个焦点.

(1)求椭圆C2的离心率;

(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.

Answer 1

解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),

所以c2+b×0=b2,

即c2=b2.

又a2=b2+c2=2c2,

所以椭圆C2的离心率e=.

(2)由(1)可知a2=2b2,

椭圆C2的方程为+=1.

联立抛物线C1的方程x2+by=b2,

得2y2-by-b2=0,

解得y=-或y=b(舍去),

所以x=±b,

即M（b,- ）,N（b,- ）,

所以△QMN的重心坐标为(1,0).

因为重心在C1上,

所以12+b×0=b2,得b=1.

所以a2=2.

所以抛物线C1的方程为x2+y=1,

椭圆C2的方程为+y2=1.