Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅等比数列，当n≥5时，a_n＞0．
（Ⅰ）求证：当n≥5时，{a_n}成等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用4S_n=a_n²+2a_n-3，再写一式，两式相减，利用当n≥5时，a_n＞0，即可得出{a_n}成等差数列；
（Ⅱ）确定首相，公比，分别求和，即可求{a_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：由4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3
两式相减得，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
当n≥5时，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴当n≥5时，{a_n}成等差数列．                
（Ⅱ）解：由4a₁=a₁²+2a₁-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤4），
∴q=-1，
而a₅＞0，
∴a₁＞0，
从而a₁=3．
∴a_n=

3×(-1)n-1，n=1，2，3，4 2n-7，n≥5

，
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n]，n=1，2，3，4 n2-6n+8，n≥5

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．