Question

10．设k∈N₊，f：N₊→N₊满足：（1）f（x）严格递增；（2）对任意n∈N₊，有f[f（n）]=kn，求证：对任意n∈N₊，都有$\frac{2k}{k+1}$n≤f（n）≤$\frac{k+1}{2}$n．

Answer 1

分析 由题意可得f（n）=an+b，a＞0，求得，$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=\sqrt{k}}\end{array}\right.$，故f（n）=$\sqrt{k}$n，再利用基本不等式证得要证的不等式成立．

解答 解：由题意可得，可设f（n）=an+b，a＞0，则f[f（n）]=a（an+b）+b=a²•n+ab+b，
再根据f[f（n）]=kn，可得$\left\{\begin{array}{l}{ab+b=0}\\{{a}^{2}=k}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=\sqrt{k}}\end{array}\right.$，故f（n）=$\sqrt{k}$n．
要证不等式$\frac{2k}{k+1}$n≤f（n）≤$\frac{k+1}{2}$n，即证$\frac{2k}{k+1}$≤$\sqrt{k}$≤$\frac{k+1}{2}$．
再利用基本不等式可得$\frac{2k}{k+1}$≤$\sqrt{k}$≤$\frac{k+1}{2}$ 恒成立，
故要证的不等式成立．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，判断f（n）=an+b，a＞0，是解题的关键，属于中档题．