Question

【题目】已知一个正四面体和一个正四棱锥，它们的各条棱长均相等，则下列说法：

①它们的高相等；②它们的内切球半径相等；③它们的侧棱与底面所成的线面角的大小相等；④若正四面体的体积为，正四棱锥的体积为，则；⑤它们能拼成一个斜三棱柱.其中正确的个数为（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①，正四面体的高，正四棱锥的高，所以该命题错误；

②，设正四面体的内切球半径为.设正四棱锥的内切球半径为则.所以该命题不正确；

③，在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，所以该命题不正确；

④，计算得.所以该命题正确；

⑤，把一个斜三棱柱分解成一个正四面体和正四棱锥，所以该命题正确.

设正四面体和正四棱锥的棱长都为，

①，,

所以正四面体的高.

如图，正四棱锥的棱长都为2，它的高,

所以该命题不正确；

②，设正四面体的内切球半径为

则，所以.

设正四棱锥的内切球半径为则

,所以.

所以该命题不正确；

③，在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.

在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，

所以该命题不正确；

④，若正四面体的体积为，，

正四棱锥的体积为，，则.

所以该命题正确；

⑤，如图，是一个斜三棱柱，其中四棱锥是一个棱长都为2的正四棱锥，四面体是棱长都为2的正四面体，所以它们能拼成一个斜三棱柱.所以该命题正确.

故选：B.