Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf′（x）≤x²+ax+1在区间（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的概念及应用

分析：先根据导数公式求出导函数f'（x），代入xf'（x）≤x²+ax+1，将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a的取值范围．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=

1

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1，
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．