Question

9．已知函数f（x）=（2-x）e^x-ax-a，若不等式f（x）＞0恰好存在两个正整数解，则实数a的取值范围是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用构造的新函数g（x）和h（x），求导数g′（x），从而可得a的范围．

解答 解：令g（x）=（2-x）e^x，h（x）=ax+a，
由题意知，存在2个正整数，使g（x）在直线h（x）的上方，
∵g′（x）=（1-x）e^x，
∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，
∴g（x）_max=g（1）=e，
且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=-e³，
直线h（x）恒过点（-1，0），且斜率为a，∴
由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{h（1）＜e}\\{h（2）＜0}\\{h（3）≤-{e}^{3}}\end{array}\right.$，
故实数a的取值范围是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．
故答案为$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

点评 本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．