【题目】如图,设为
内一点,直线
、
、
与边
、
、
分别交于点
、
、
.设分别以
、
为直径的两圆交于点
、
,分别以
、
为直径的两圆交于点
、
,分别以
、
为直径的两圆交于点
、
.证明:
、
、
、
、
、
六点共圆.
【答案】见解析
【解析】
首先证明:、
、
三线共点于
,其中,
为
的垂心.
如图,作于点
,
于点
,
于点
.
则、
、
共点于
,即
的垂心.
由,知以
、
为直径的圆均过点
、
.故
为两圆根轴.
类似地,以、
为直径的圆均过点
、
,
为两圆根轴;以
、
为直径的圆均过点
、
,
为两圆根轴.
由根心定理,知、
、
三线共点,且
与
交于点
.
故过点
.
由、
、
、
四点共圆
.
类似地,、
均过点
,有
,
.
又,故
、
、
、
四点共圆于
,
、
、
、
四点共圆于
,
、
、
、
四点共圆于
.
如图,设、
、
的中点分别为
、
、
,
、
、
的中点分别为
、
、
.
其次证明:、
、
三线共点.
因为,
,所以,
为
的中垂线.
类似地,为
的中垂线,
为
的中垂线.
故为
与
的交点,
为
与
的交点,
为
与
的交点.
又、
、
共点于
,由塞瓦定理得
.
再由塞瓦定理的逆定理,知、
、
三线共点.
因此,、
、
三点重合.
故、
、
、
、
、
六点共圆.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,椭圆W:的焦距与椭圆Ω:
+y2=1的短轴长相等,且W与Ω的长轴长相等,这两个椭圆的在第一象限的交点为A,直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,l与Ω的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.
(1)求W的标准方程:
(2)求.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其最小正周期为
.
(1)求 的表达式;
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象,若关于
的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围.
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【题目】某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有( )
A.8种B.10种C.12种D.14种
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数在
处取得极值.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间上任意两个自变量的值
,都有
;
(Ⅲ)若过点可作曲线
的三条切线,求实数
的取值范围.
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