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    【题目】在展开式的全体系数中，有多少个7的倍数？

    【答案】1722

    【解析】

    将问题一般化.

    先证明一个引理.

    引理 设为正整数，为素数，.若在的进制表达式的各位数码中，共有个1，个2，…，个，则在展开式的各系数中，的倍数的个数为.

    证明 先求集合中与互素的元素个数.

    记.

    因为为素数，，所以，.而，

    故，

    其中，表示不超过实数的最大整数.

    注意到，对每个均有.

    故. ①

    设，，其中，、、.

    由式①依次得，.

    对于上面每一式，可以取0，1，…，共个值，故在集合中，使得的有个.

    若的进制表示的各位数码中，共有个1，个2，…，个，则，即集合中有个数与互素.

    从而，在集合中有个数为的倍数.

    回到原题.

    由2015的七进制表达式为，其数码中有一个5，两个6，则在展开式的各系数中，7的倍数有（个）.

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