Question

设直线l与曲线f（x）=x³+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=

10

，则直线l的方程为（　　）

• A、y=5x+1
• B、y=4x+1
• C、y=

  3

  x+1
• D、y=3x+1

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．

解答： 解：由题意，曲线f（x）=x³+2x+1是由g（x）=x³+2x，向上平移1个单位得到的，
函数g（x）=x³+2x是奇函数，对称中心为（0，0），
曲线f（x）=x³+2x+1的对称中心：B（0，1），
设直线l的方程为y=kx+1，
代入y=x³+2x+1，可得x³=（k-2）x，∴x=0或x=±

k-2

∴不妨设A（

k-2

，k

k-2

+1）（k＞2）
∵|AB|=|BC|=

10

∴（

k-2

-0）²+（k

k-2

+1-1）²=10
∴k³-2k²+k-12=0
∴（k-3）（k²+k+4）=0
∴k=3
∴直线l的方程为y=3x+1
故选：D．

点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．