Question

7．设函数f（x）=ax²-a-lnx，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）＞$\frac{1}{x}$-e^1-x在区间（1，+∞）内恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的倒数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）原不等式等价于$f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}＞0$在x∈（1，+∞）上恒成立，令$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}=a{x^2}-lnx-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}-a$，得到a≥$\frac{1}{2}$，求出F（x）在x∈（1，+∞）单调递增，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-1}}{x}，x＞0$（1分）
①当a≤0时，2ax²-1≤0，f'（x）≤0，
f（x）在（0，+∞）上单调递减．（3分）
②当a＞0时，$f'（x）=\frac{{2a（x+\sqrt{\frac{1}{2a}}）（x-\sqrt{\frac{1}{2a}}）}}{x}$，
当$x∈（{0，\sqrt{\frac{1}{2a}}}）$时，f'（x）＜0； 当$x∈（{\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞}）$时，f'（x）＞0．
故f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{2a}}}）$上单调递减，在$（{\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞}）$上单调递增．（6分）
（2）原不等式等价于$f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}＞0$在x∈（1，+∞）上恒成立．
一方面，令$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}=a{x^2}-lnx-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}-a$，
只需g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0即可．
又∵g（1）=0，故g'（x）在x=1处必大于等于0．
令$F（x）=g'（x）=2ax-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-{e^{1-x}}$，g'（1）≥0，可得$a≥\frac{1}{2}$．（9分）
另一方面，
当$a≥\frac{1}{2}$时，$F'（x）=2a+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+{e^{1-x}}≥1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+{e^{1-x}}=\frac{{{x^3}+x-2}}{x^3}+{e^{1-x}}$
∵x∈（1，+∞）故x³+x-2＞0，又e^1-x＞0，故F'（x）在$a≥\frac{1}{2}$时恒大于0．
∴当$a≥\frac{1}{2}$时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．
∴F（x）＞F（1）=2a-1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
综上，$a≥\frac{1}{2}$．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．