Question

5．已知正方体AC₁的棱长为a，过B₁作B₁E⊥BD₁于点E，过点E作EF⊥BD于F．
（1）证明EF∥平面ABB₁A₁；
（2）求A，E两点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）在平面BDD₁中，EF⊥BD，D₁D⊥BD，故EF∥D₁D，由D₁D∥A₁A得FE∥A₁A，故EF∥平面ABB₁A₁；
（2）由△BEB₁∽△BB₁D₁可求得BE，再利用△BEF∽△BD₁D求出FB，EF，在△ABF中由余弦定理解出AF，最后根据勾股定理计算AE．

解答 （1）证明：∵D₁D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴D₁D⊥BD，∵EF⊥BD，EF?平面BD₁D，D₁D?平面BD₁D，
∴EF∥D₁D．∵D₁D∥A₁A，
∴EF∥A₁A，又∵A₁A?平面ABB₁A₁，EF?ABB₁A₁，
∴EF∥平面ABB₁A₁．
（2）∵正方体AC₁的棱长为a，∴B₁B=a，BD=$\sqrt{2}a$，BD₁=$\sqrt{3}a$．
∵B₁E⊥BD₁，∴$\frac{{B}_{1}B}{B{D}_{1}}=\frac{BE}{{B}_{1}B}$，∴BE=$\frac{{B}_{1}{B}^{2}}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
∵EF∥D₁D，∴$\frac{EF}{{D}_{1}D}=\frac{BF}{BD}=\frac{BE}{B{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，∴EF=$\frac{a}{3}$，BF=$\frac{\sqrt{2}a}{3}$．
连结AF，AE，在△ABF中，AB=a，∠ABF=45°，
∴AF=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}a}{3}）^{2}-2a•\frac{\sqrt{2}a}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{3}$．
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间距离的计算，属于基础题．