Question

3．已知斜率为1的直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y²=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，求p的值；
（Ⅱ）写出点A、B、D的坐标，可利用斜率相等，证明三点共线．

解答 解：（I）由题意可知，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标为$F（\frac{p}{2}，0）$，
准线方程为$x=-\frac{p}{2}$．
所以，直线l的方程为$y=x-\frac{p}{2}$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，p=1…（6分）
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y²=2x．
设点B的坐标为$（\frac{{{y_0}^2}}{2}，{y_0}）$，又焦点$F（\frac{1}{2}，0）$，
当$\frac{{{y_0}^2}}{2}≠\frac{1}{2}$时，直线AB的斜率为$k=\frac{{{y_0}-0}}{{\frac{{{y_0}^2}}{2}-\frac{1}{2}}}=\frac{{2{y_0}}}{{{y^2}_0-1}}$．
所以，直线AB的方程为$y-0=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}（x-\frac{1}{2}）$，即$y=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}x-\frac{y_0}{{{y_0}^2-1}}$…（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}x-\frac{y_0}{{{y_0}^2-1}}\\{y^2}=2x\end{array}\right.$消x并整理，得${y^2}-\frac{{{y_0}^2-1}}{y_0}y-1=0$
所以，y₁y₂=-1
又y₂=y₀，所以，${y_1}=-\frac{1}{y_0}$，${x_1}=\frac{1}{{2{y_0}^2}}$即$A（\frac{1}{{2{y_0}^2}}，-\frac{1}{y_0}）$．…（11分）
由题意可知，点D的坐标为$（-\frac{1}{2}，{y_0}）$，
所以，OA的斜率为${k_{OA}}=\frac{{-\frac{1}{y_0}}}{{\frac{1}{{2{y_0}^2}}}}=-2{y_0}$，OD的斜率为${k_{OD}}=\frac{y_0}{{-\frac{1}{2}}}=-2{y_0}$，即k_OA=k_OD
所以，A，O，D三点共线．…（13分）
当$\frac{{{y_0}^2}}{2}=\frac{1}{2}$时，|AB|=2不合题意，舍去．…（14分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查三点共线的证明，涉及分类讨论的思想，属中档题．