Question

13．已知曲线C₁的极坐标方程为：ρ=6sinθ-8cosθ，曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（1）化C₁，C₂为直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）已知曲线C₁上的点P（ρ，$\frac{π}{2}$），Q为曲线C₂上一动点，求PQ的中点M到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的极坐标方程为：ρ=6sinθ-8cosθ，即ρ²=6ρsinθ-8ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数φ可得的直角坐标方程，进而得出曲线的形状．
（2）曲线C₁上的点P（ρ，$\frac{π}{2}$），代入曲线C₁的极坐标方程可得P$（6，\frac{π}{2}）$，可得直角坐标（0，6）．设Q（8cosφ，6sinφ）（0≤φ＜2π），利用中点坐标公式可得：M$（4cosφ，3+\frac{3}{2}sinφ）$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x-2y-7=0，利用点到直线的距离公式可得：点M到直线l的距离，利用三角函数的单调性与极值即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为：ρ=6sinθ-8cosθ，即ρ²=6ρsinθ-8ρcosθ，可得：直角坐标方程为：x²+y²=6y-8x，配方为：（x+4）²+（y-3）²=25，表示圆心在（-4，3）半径为5的圆．
曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数φ可得的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，表示焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为16，短轴长为6的椭圆．
（2）曲线C₁上的点P（ρ，$\frac{π}{2}$），代入曲线C₁的极坐标方程：ρ=6sin$\frac{π}{2}$-8cos$\frac{π}{2}$=6，∴P$（6，\frac{π}{2}）$，可得直角坐标（0，6）．
设Q（8cosφ，6sinφ）（0≤φ＜2π），则M$（4cosφ，3+\frac{3}{2}sinφ）$，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x-2y-7=0，
则点M到直线l的距离为d=$\frac{|4cosφ-6-3sinφ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ-α）+13|}{\sqrt{5}}$$\frac{8}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
当cosφ=$\frac{4}{5}$，sinφ=-$\frac{3}{5}$时，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其应用、极坐标化为直角坐标方程、中点坐标公式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．