Question

6．若不等式4x³-3x²+$\frac{1}{4}$≥k对任意的x∈[0，2]都成立，则实数k的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 构造函数，求导，根据导数求出函数的最小值，即可求出k的范围，问题得以解决．

解答 解：设f（x）=4x³-3x²+$\frac{1}{4}$，x∈[0，2]
则f′（x）=12x²-6x，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
当f′（x）＞0时，即$\frac{1}{2}$＜x≤2，函数单调递增，
当f′（x）≤0时，即0≤x≤$\frac{1}{2}$，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=4×$\frac{1}{8}$-3×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=0，
∴k≤0，
故实数k的最大值为0，
故选：C．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．