Question

15．等比数列{a_n}中，公比q＞0，S_n为其前n项和，S₂=3，S₄=15．
（1）求a_n；
（2）记数列{S_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）若q=1，则S₄=2S₂，与已知矛盾，∴q≠1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{S_2}=\frac{{{a_1}（1-{q^2}）}}{1-q}=3\\{S_4}=\frac{{{a_1}（1-{q^4}）}}{1-q}=15\end{array}\right.$
又q＞0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）由（1），可以求得${S_n}={2^n}-1$，
于是${T_n}={2^1}-1+{2^2}-1+…+{2^n}-1={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-1-1-…-1$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-n-2$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．