Question

1．已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，试比较e^a-1与a^e-1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数奇偶性的定义证明函数为偶函数；
（2）利用分离参数法把不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立转化为m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，换元后利用基本不等式求得最值得答案；
（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性间的关系分别进行讨论即可得到结论．

解答 （1）解：f（x）为定义域上的偶函数．
证明：f（x）=e^x+e^-x的定义域为R，
∵f（-x）=e^-x+e^x=f（x），∴f（x）为定义域上的偶函数；
（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1在（0，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x（t＞1），则m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立．
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{t-1}{（t-1）^{2}+（t-1）+1}=-\frac{1}{（t-1）+\frac{1}{t-1}+1}$$≥-\frac{1}{3}$．
当且仅当t=2时上式等号成立．
∴m$≤-\frac{1}{3}$；
（3）解：令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x）．
则g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+$\frac{1}{e}-2a$．
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+$\frac{1}{e}-2a$＜0，即a＞$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$）．
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，h′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$，
由h′（x）=1-$\frac{e-1}{x}$=0，解得x=e-1．
当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增．
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1）．
注意到h（0）=h（1）=0，
∴当x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0．
x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0．
∴h（x）＜0对任意x∈（1，e）成立．
①a∈（$\frac{1}{2}（e+\frac{1}{e}）$，e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，从而e^a-1＜a^e-1；
②a=e时，e^a-1=a^e-1；
③a∈（e，+∞）⊆（e-1，+∞）时，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，从而e^a-1＞a^e-1 ．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和函数构造法，对于（3），由要证的结论想到构造函数h（x）=x-（e-1）lnx-1是关键，难度较大．