Question

已知动点到点的距离与到直线的距离之比为定值，记的轨迹为．

（1）求的方程，并画出的简图；
（2）点是圆上第一象限内的任意一点，过作圆的切线交轨迹于，两点．
（i）证明：；
（ii）求的最大值．

Answer 1

（1），C的图象是椭圆．
（2）（i） 。(ii)当过点时取最大值2

解析试题分析：（1）设，由题动点M满足：         1分

其中：，
...2分
代入，化简得：
C的图象是椭圆，如图所示．          4分
（2）（i）设，
则          5分
         6分
即                       7分
(ii)解法一、设切线为，由题与圆相切，得，
8分
再由，得         9分
          10分
由（i）知，所以
11分
又                      . 2分
，当时，取最大值2         13分
的最大值为2．          ...14分
解法二、
由（i）同理得，则
又
当过点时取最大值2
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与圆、直线与椭圆的位置关系，弦长公式。
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。涉及弦长问题，一般要利用韦达定理，简化解题过程。本题“几何味”较浓，应认真分析几何特征。