Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹+1，b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1，其中n∈N^*，n≥1．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由等比数列的定义结合已知即可证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）由数列{b_n}为等比数列求得其通项公式，代入b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1求出数列{a_n}的通项公式，然后利用错位相减法求其前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹+1，b_n=a_n-（n+1）•2ⁿ+1，
∴

bn+1

bn

=

an+1-(n+2)2n+1+1

an-(n+1)2n+1

=

2an+2n+1+1-(n+2)2n+1+1

an-(n+1)2n+1

=2，
∴数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b₁=-1，
∴bn=-2n-1，
∴an=(2n+1)•2n-1-1，
则Sn=(3×20-1)+(5×21-1)+(7×22-1)+…+[(2n+1)×2n-1-1]
=3×2⁰+5×2¹+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n  ①，
2Sn=3×21+5×212+7×23+…+(2n+1)×2n-2n  ②，
由①-②，得-Sn=1+2+22+…+2n-(2n+1)×2n+n
=

1-2n+1

1-2

-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2ⁿ+n-1．
∴Sn=(2n-1)×2n-n+1．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．