Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列，S₃=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足对于任意n∈N⁺都有S_n=2ⁿ-1，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式及等比数列性质，求出首项与公差，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由已知条件推导出bn=2n-1．从而得到anbn=(2n+1)•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S₃=15．
∴S3=

3(a1+a3)

2

=3a2=15，解得a₂=5．…．（2分）．
又a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴（5+2d）²=（5-d）（5+11d），
∵d≠0，解得d=2，
∴a_n=2n+1．…．（5分）．
（2）∵数列{b_n}满足对于任意n∈N⁺都有S_n=2ⁿ-1，
∴n=1时，b₁=S₁=2-1=1，
n≥2时，bn=2n-1-2n-1+1=2n-1，
n=1时，成立，∴bn=2n-1．…．（7分）．
anbn=(2n+1)•2n-1，
∴Tn=3•20+5•2+7•22+…+(2n+1)•2n-1，①
2Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，②
①-②，得-Tn=3+2(2+22+…+2n-1)-(2n+1)•2n
=3+2•2ⁿ-4-（2n+1）•2ⁿ
=-（2n-1）•2ⁿ-1．
∴Tn=(2n-1)•2n+1…．（12分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．