【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
分别为
的中点,且
.
(1)证明:;
(2)证明:直线与平面
相交;
(3)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由线面垂直的性质可得,由等腰三角形的性质可得
,由线面垂直的判断定理可得出
平面
,从而可得结果;(2)设
,则
,又
,可得四边形
是梯形,则直线
与直线
相交,可得
与平面BCD相交;(3)先证明
平面
从而
就是所求的角求得
.
(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CC1⊥平面ABC,∴四边形A1ACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,∴AC⊥ EF.
∵AB=BC.∴AC⊥BE,∴AC⊥ 平面BEF.
又G是BB1中点,BB1 //EF,∴G在平面BEF内,∴ AC⊥FG
(2)设,则
,又
,所以,四边形
是梯形,所以,直线
与直线
相交,可得
与平面BCD相交,
(3)过作
于点
,连
,
易证平面
,∴
,
∴ 平面
从而
就是所求的角
计算得,
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【题目】某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
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【题目】某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)求a,b,c的值;
(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(3)某评估机构以指标(
,其中
表示
的方差)来评估该校开展安全教育活动的成效.若
≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.
(1)证明:PB⊥CD;
(2)求二面角A﹣PD﹣C的大小.
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【题目】设{an}的首项为a1 , 公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1 , S2 , S4成等比数列,则a1=( )
A.2
B.﹣2
C.
D.﹣
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【题目】已知函数f(x)=sin2xcos2x+sin22x﹣ .
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)在△ABC中,角B为钝角,角A,B,C的对边分别为a、b、c,f( )=
,且sinC=
sinA,S△ABC=4,求c的值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+ )=
a,曲线C2的参数方程为
(θ为参数).
(1)求C1的直角坐标方程;
(2)当C1与C2有两个公共点时,求实数a取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,若存在实数x1 , x2 , x3 , x4满足f(xl)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4 , 则x1x2x3x4的取值范围是
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【题目】甲罐中有3个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有5个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,
和
表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以
表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号).
①P(B)=;②
;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
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