Question

20．已知函数f（x）=$\frac{x+4}{x}$与g（x）=|x²-6x|的定义域为[1，4]．
（1）求这两个函数的值域并作处这两个函数的图象；
（2）若函数g（x）的图象与直线y=k仅有一个交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，利用单调性、二次函数的性质求得它们的值域，画出它们的图象．
（2）结合函数g（x）的图象可得，求得当函数g（x）的图象与直线y=k仅有一个交点时k的范围．

解答 解：（1）∵x∈[1，4]，∴函数f（x）=$\frac{x+4}{x}$=1+$\frac{4}{x}$为减函数，故它的值域为[2，5]．
∵x∈[1，4]，∴函数g（x）=|x²-6x|=6x-x²，∵x∈[1，4]，∴当x=3时，函数取得最大值为9，
当x=1时，函数取得最小值为5，故函数的值域为[5，9]．
它们的图象如图所示：

（2）结合函数g（x）的图象可得，若函数g（x）的图象与直线y=k仅有一个交点，
则 k=9，或 5≤k＜8．

点评 本题主要考查利用单调性求函数的值域，带有绝对值的函数，函数的图象，属于中档题．