Question

设x、y满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则

a+2b

ab

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．

解答： 解：作出不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+by（a＞0，b＞0），
得y-

a

b

x+

z

b

，
平移直线y-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y-

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时最大值4，
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

，
解得

x=1 y=4

，即A（1，4），
代入目标函数得a+4b=4，
即

a

4

+b=1，
则

a+2b

ab

=

1

b

+

2

a

=（

1

b

+

2

a

）（

a

4

+b）=

a

4b

+

2b

a

+

3

2

≥2

a 4b • 2b a

+

3

2

=

2

+

3

2

，
当且仅当

a

4b

=

2b

a

，a²=8b²，即a=2

2

b时取等号，
故答案为：

2

+

3

2

．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键．