Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若F₂关于渐近线的对称点为M，且|MF₁|=$\sqrt{2}$c，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，设点F₂（c，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n），利用轴对称的性质可得m，n用a，b，c表示，利用两点间的距离公式及|MF₁|=$\sqrt{2}$c，以及离心率公式即可得出．

解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，
设点F₂（c，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n），
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}•\frac{b}{a}=-1}\\{\frac{n}{2}=\frac{b}{a}•\frac{m+c}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2{a}^{2}}{c}-c}\\{n=\frac{2ab}{c}}\end{array}\right.$．即M（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$）．
有|MF₁|=$\sqrt{2}$c，可得$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}}{c}-c+c）^{2}+（\frac{2ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
化为c=$\sqrt{2}$a．则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题综合考查了双曲线的性质、两点间的距离公式、轴对称的性质等基础知识与基本方法，属于中档题．