Question

18．已知点M是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F是其右焦点，P为线段MF的中点，若|OM|=|OF|（0为坐标原点）且|OP|=$\frac{1}{2}$a，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设双曲线的左焦点为F'，由双曲线的定义可得，|MF|-|MF'|=2a，由题意可得△MFF'为直角三角形，且∠FMF'=90°，运用中位线定理和勾股定理，以及离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的左焦点为F'，由双曲线的定义可得，
|MF|-|MF'|=2a，
由|OM|=|OF|，可得△MFF'为直角三角形，且∠FMF'=90°，
由OP为△MFF'的中位线，可得|MF'|=2|OP|=a，
即有|MF|=3a，
由勾股定理可得，a²+9a²=4c²，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及中位线定理，属于中档题．