Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c下列结论：
①若a²＞b²+c²，则△ABC为钝角三角形；
②若a²=b²+c²+bc，则A为60°；
③若a²+b²＞c²，则△ABC为锐角三角形；
④若A：B：C=1：2：3，则：a：b：c=1：$\sqrt{3}$：2．
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据正弦定理，余弦定理分别进行判断即可得到结论．

解答 解：①若a²＞b²+c²，则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＜0，则角A是钝角，则△ABC为钝角三角形，故①正确，
②若a²=b²+c²+bc，则b²+c²-a²=-bc，则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$，则A为120°，故②错误，
③若a²+b²＞c²，则cosC=$\frac{{{a}^{2}+b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，则角C是锐角，无法判断角A，B的取值，故△ABC为锐角三角形不正确，故③错误；
④若A：B：C=1：2：3，则A=30°，B=60°，C=90°，
则a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\frac{1}{2}$：$\frac{\sqrt{3}}{2}$：1=1：$\sqrt{3}$：2，故④正确，
故正确是①④，
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及正弦定理，余弦定理的应用，综合性较强，但难度不大．