Question

17．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$n+r．
（1）若a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，设b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n≥$\frac{2n}{3n+1}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$n+r，a₁=2，可得r．于是S_n=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$，利用递推关系可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，再利用“累乘求积”即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-1+1）}$≥$\frac{2}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$n+r，a₁=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$+r=1，解得r=$\frac{2}{3}$．
∴S_n=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$-$\frac{n+1}{3}{a}_{n-1}$，
化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n+1}{n-1}•\frac{n}{n-2}$$•\frac{n-1}{n-3}$•…•$\frac{4}{2}$$•\frac{3}{1}$•2=n（n+1），
当n=1时也成立，
∴a_n=n（n+1）．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-1+1）}$≥$\frac{2}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
≥$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n≥$\frac{2}{3}$$[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{2n}{3n+1}$．
∴T_n≥$\frac{2n}{3n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．