Question

3．已知函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）．
（1）若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由f（-x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3^x的范围，进一步求解指数不等式得答案；
（2）由题意可得3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，令t=3^x∈[1，9]，原不等式等价于λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵f（x）=3^x+λ•3^-x为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=3^-x+λ•3^x+3^x+λ•3^-x=（3^x+3^-x）+λ（3^x+3^-x）=（λ+1）（3^x+3^-x）=0，
∵3^x+3^-x＞0，∴λ+1=0，即λ=-1．
此时f（x）=3^x-3^-x，
由f（x）＞1，得3^x-3^-x＞1，即（3^x）²-3^x-1＞0，
解得：${3}^{x}＜\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），或3^x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，即x＞$lo{g}_{3}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
∴不等式f（x）＞1的解集为（$lo{g}_{3}\frac{1+\sqrt{5}}{2}，+∞$）；
（2）由f（x）≤6得3^x+λ3^-x≤6，即3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，
令t=3^x∈[1，9]，
原不等式等价于t+$\frac{λ}{t}$≤6在t∈[1，9]上恒成立，
亦即λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，
令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，
当t=9时，g（t）有最小值g（9）=-27，
∴λ≤-27．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论的思想方法和奇偶性的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．