【题目】已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1)B.C.
D.
【答案】B
【解析】
先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由
0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标,①若点M和点A重合,求得b
;②若点M在点O和点A之间,求得
b
; ③若点M在点A的左侧,求得
b>1
.再把以上得到的三个b的范围取并集,可得结果.
由题意可得,三角形ABC的面积为 1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),
由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,
故0,故点M在射线OA上.
设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为(
,
).
①若点M和点A重合,如图:
则点N为线段BC的中点,故N(,
),
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b.
②若点M在点O和点A之间,如图:
此时b,点N在点B和点C之间,
由题意可得三角形NMB的面积等于,
即,即
,可得a
0,求得 b
,
故有b
.
③若点M在点A的左侧,
则b,由点M的横坐标
1,求得b>a.
设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由 求得点P的坐标为(
,
),
此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即
(1﹣b)|xN﹣xP|
,
即(1﹣b)|
|
,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.
由于此时 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2 .
两边开方可得 (1﹣b)
1,∴1﹣b
,化简可得 b>1
,
故有1b
.
综上可得b的取值范围应是 ,
故选:B.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为椭圆
上一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
.取点
,连接
,过点
作
的垂线交
轴于点
.点
是点
关于
轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆
一定有唯一的公共点?并说明理由.
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【题目】某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛,为了解学生成绩,现随机抽取40名学生的成绩(单位:分),并列成如下表所示的频数分布表:
分组 | |||||
频数 |
⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数;
⑵成绩在的5名学生中有3名男生,2名女生,现从中选出2名学生参加访谈,求恰好选中一名男生一名女生的概率.
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【题目】北京101中学校园内有一个“少年湖”,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,某同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量的数据的不同方案:①测量∠A,AC,BC;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠C,AC,BC;④测量∠A,∠C,∠B. 其中一定能唯一确定A,B两地之间的距离的所有方案的序号是_______.
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【题目】随着生活水平的提高,越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣,下图为其等高条形图:
①绘出列联表;
②根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系?
附:,其中
.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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