Question

8．某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．
（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；
（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）所有可能的申请方式有3⁴种，再求出恰有3人申请A类助学金的申请方式有多少种，由此能求出恰有3人申请A类奖助学金的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3，分别求出相应的概率，由此能示出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有3⁴种，
恰有3人申请A类助学金的申请方式有$C_4^3•C_{2}^{1}=8$种，
所以，所求概率为$P=\frac{8}{3^4}=\frac{8}{81}$；…（5分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3…（6分）
$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1}{3^4}=\frac{1}{27}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{{C_3^2（{C_4^2C_2^2+C_4^3A_2^2}）}}{3^4}=\frac{14}{27}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^2A_3^3}{3^4}=\frac{4}{9}$，…（9分）
综上知：ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{4}{9}$

所以：$Eξ=1×\frac{1}{27}+2×\frac{14}{27}+3×\frac{4}{9}=\frac{65}{27．}$…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．