Question

17．在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知（2a-c）cosB=bcosC．
（1）若a=3，c=1，求b的值；
（2）设函数f（x）=sin（ωx+$\frac{B}{2}$）+2cos²$\frac{ωx}{2}$，若x=$\frac{π}{12}$是f（x）的一个极值点，且0＜ω＜5，求f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理以及三角函数运算可得cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得b值；
（2）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+1，由极值点可得ω=12k+2，由0＜ω＜5可得ω=2，由周期公式可得．

解答 解：（1）∵在三角形ABC中（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵在三角形中sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得b²=3²+1²-2×3×1×$\frac{1}{2}$=7，
∴b=$\sqrt{7}$；
（2）化简可得f（x）=sin（ωx+$\frac{B}{2}$）+2cos²$\frac{ωx}{2}$
=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+2cos²$\frac{ωx}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx+1+cosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{3}{2}$cosωx+1=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+1，
∵x=$\frac{π}{12}$是f（x）的一个极值点，∴$\frac{π}{12}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得ω=12k+2，由0＜ω＜5可得ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和函数的极值以及三角函数的周期性，属中档题．