Question

直线l过双曲线M虚轴的一个端点，与该双曲线相切，直线l与双曲线M的两条渐近线所围成的三角形面积为1，则双曲线M焦距的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、2

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：如图所示，设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．设直线l过双曲线M虚轴的一个端点B（0，b），斜率k＜0．与双曲线的渐近线分别相交于A，D．联立

y=kx+b y= b a x

，解得D．联立

y=kx+b y=- b a x

，解得A．可得|AD|=

2ab2 1+k2

|b2-a2k2|

．点O到直线l的距离d=

b

k2+1

．由于S_△OAD=

1

2

d•|AD|=1，可得ab³=|b²-a²k²|．（*）联立

y=kx+b x2 a2 - y2 b2 =1

，化为（b²-a²k²）x²-2a²bkx-2a²b²=0，由于直线l与双曲线相切，可得△=0，2b²=a²k²．代入（*）可得：ab=1．由于c=

a2+b2

，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如图所示，
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．
设直线l过双曲线M虚轴的一个端点B（0，b），斜率k＜0．
与双曲线的渐近线分别相交于A，D．
联立

y=kx+b y= b a x

，解得D(

ab

b-ak

，

b2

b-ak

)．
联立

y=kx+b y=- b a x

，解得A(

-ab

b+ak

，

b2

b+ak

)．
∴|AD|=

( ab b-ak + ab b+ak )2+( b2 b-ak - b2 b+ak )2

=

2ab2 1+k2

|b2-a2k2|

．
∴点O到直线l的距离d=

b

k2+1

．
∵S_△OAD=

1

2

d•|AD|=1，
∴ab³=|b²-a²k²|．（*）
联立

y=kx+b x2 a2 - y2 b2 =1

，化为（b²-a²k²）x²-2a²bkx-2a²b²=0，
∵直线l与双曲线相切，∴△=0，∴4a⁴b²k²+8a²b²（b²-a²k²）=0，
化为2b²=a²k²．
代入（*）可得：ab=1．
∴c=

a2+b2

≥

2ab

=

2

，当且仅当a=b=1取等号．
∴2c≥2

2

．
∴双曲线M焦距的最小值为2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线相交、直线与双曲线相切、基本不等式的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．