【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若函数的图像与函数
的图像在区间
上有公共点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极小值为,无极大值.(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)函数求导,令,求出根,分析其两侧导数的符号,确定函数的极值;(Ⅱ)若函数
的图象与函数
的图象在区间
上有公共点,转化为求函数
在区间
上的值域,根据(Ⅰ)分类讨论函数在区间
是的单调性,确定函数
的最值.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,令
,得
,
当时,
,
是减函数;
当时,
,
是增函数.
所以当时,
取得极小值,即极小值为
,无极大值.
(2)①当,即
时,由(1)知,
在
上是减函数,在
上增函数,当
时,
取得最小值,即
最小值
,又当
时,
,当
时,
,当
时,
,所以
的图像与函数
的图像在区间
上有公共点,等价于
,解得
,又
,所以
.
②当,即
时,
在
上是减函数,
在
上的最小值为
,所以,原问题等价于
,得
,又
,所以不存在这样的实数
.综上知实数
的取值范围是
.
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【题目】某单位职工义务献血,在体检合格的人中, 型血的共有28人,
型血的共有7人,
型血的共有9人,
型血的有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
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【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(Ⅱ)假设抽出学生的数学成绩在段各不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数字中任意抽取2个数,有放回地抽取3次,记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为
,求
的分布列和期望.
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【题目】【2015高考湖北】如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为________.
(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
①=
;②
-
=2;
③+
=2
.
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号).
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【题目】已知函数f(x)= (x∈R),给出下面四个命题:
①函数f(x)的图象一定关于某条直线对称;
②函数f(x)在R上是周期函数;
③函数f(x)的最大值为 ;
④对任意两个不相等的实数 ,都有
成立.
其中所有真命题的序号是 .
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【题目】设函数,
(
).
(Ⅰ)求函数的单调增区间;
(Ⅱ)当时,记
,是否存在整数
,使得关于
的不等式
有解?若存在,请求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设数列的前n项和为
,已知
(p、q为常数,
),又
,
,
.
(1)求p、q的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数m、n,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对
;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,某公园有三条观光大道围成直角三角形,其中直角边
,斜边
.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在
大道上嬉戏,所在位置分别记为点
.
(1)若甲乙都以每分钟的速度从点
出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端
时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;
(2)设,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且
,请将甲
乙之间的距离表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.
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