Question

已知函数f（x）=

3

sin2ωx+sinωxcosωx-

3

2

（x∈R，ω∈R）的最小正周期为π，且f(

π

6

)＜0．
（I）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（II）在△ABC中，若A＜B，且f（-A）=f（-B）=

1

2

；求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（I）把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，进而确定出函数解析式，由x的范围，得到这个角的范围，可得此时正弦函数的值域，即可得到函数的值域；
（II）令第一问化简得到的函数解析式等于

1

2

，利用特殊角的三角函数值及A与B的关系，得出A与B的度数，可得出C的度数，由sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出所求式子的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin2ωx+sinωxcosωx-

3

2

=

3

2

（1-cos2ωx）+

1

2

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

3

），
又函数f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

|2ω|

=π，∴|ω|=1，
又f（

π

6

）=sin（

ωπ

3

-

π

3

）＜0，
∴ω=-1，
∴f（x）=sin（-2x-

π

3

）=-sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
则f（x）的值域为[-1，

3

2

]；
（II）由f（x）=sin（-2x-

π

3

）=

1

2

，得到-2x-

π

3

=

π

6

或

5π

6

，
解得：x=

π

4

或x=

7π

12

，
又△ABC中，若A＜B，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=

π

6

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

得：

BC

AB

=

sinA

sinC

=

2 2

1 2

=

2

．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．