Question

关于f（x）=3sin（2x+

π

4

）有以下命题，其中正确命题的个数（　　）
①若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②f（x）图象与g（x）=3cos（2x-

π

4

）图象相同；
③f（x）在区间[-

7π

8

，-

3π

8

]上是减函数；
④f（x）图象关于点（-

π

8

，0）对称．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：考查f（x）=3sin（2x+

π

4

）的零点、周期性、对称性、单调性，可得结论．

解答： 解：关于f（x）=3sin（2x+

π

4

），由于它的周期为π，相邻的两个零点相差半个周期，
故若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=k•

π

2

（k∈Z），故①不正确．
由于g（x）=3cos（2x-

π

4

）=3sin（2x-

π

4

+

π

2

）=f（x）=3sin（2x+

π

4

），故②正确．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，
故函数f（x）的减区间为[kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

]，k∈z，故f（x）在区间[-

7π

8

，-

3π

8

]上是减函数，
故③正确．
把x=-

π

8

代入f（x）的解析式求得f（x）=0，可得f（x）图象关于点（-

π

8

，0）对称，故④正确．
故选：D．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的零点、周期性、对称性、单调性，属于基础题．