Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

m

=1与双曲线

x2

9

-

y2

n

=1的离心率是方程9x²-18x+8=0的两根，mn=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：解出二次方程，可得双曲线和椭圆的离心率，再由离心率公式可得n=7，对于椭圆讨论焦点位置，解关于m的方程，即可得到m，进而得到mn的值．

解答： 解：方程9x²-18x+8=0的两根为

2

3

和

4

3

，
即有双曲线

x2

9

-

y2

n

=1的离心率是

4

3

，
即为

9+n

3

=

4

3

，解得n=7，
又椭圆

x2

9

+

y2

m

=1的离心率为

2

3

，
即有

9-m

3

=

2

3

或

m-9

m

=

2

3

，
解得m=5或

81

5

．
则有mn=35或

567

5

．
故答案为：35或

567

5

．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，注意椭圆的焦点位置是解题的关键．