Question

设f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函数（常数a，b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函数（常数a，b∈R）的定义可以判断a，b的值，
（2）变形为当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）=

1

x+ 1 x

，利用均值不等式求解可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x+a

x2+bx+1

是R上的奇函数（常数a，b∈R）．
∴f（0）=0，即

0+a

1

=0，a=0
∴f（x）=

x

x2+bx+1

，f（-x）=-

x

x2-bx+1

，
∴bx=-bx，b=0，
故a=0，b=0，
（2）f（x）=

x

x2+1

，
当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）=

1

x+ 1 x

，
∵y=x+

1

x

的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴f（x）=

x

x2+1

的值域为[-

1

2

，

1

2

]
故f（x）最大值为

1

2

，f（x）最小值为-

1

2

．

点评：本题综合考察了函数的性质，在求解函数值域中的应用，属于中档题，容易忽略x=0．